Карьеру вратарь Рапопорт начал в ленинградском «Динамо» в середине 1960-х и продолжил в других командах бывшего СССР. Закончил институт имени Лесгафта. Работал тренером «Зенита» (1993-1994), главным тренером петербургского «Динамо» (1998-1999), череповецкой «Северстали» (2000, за один сезон вывел коллектив в первую лигу, но команда из-за финансовых проблем не пошла на повышение). С августа 2002-го до конца сезона Борис Завельевич возглавлял «Зенит». Затем был вице-президентом и спортивным директором «Зенита», «Зенита»-2, раменского «Сатурна», сочинской «Жемчужины». Был главным тренером сборных Петербурга на Мемориалах Гранаткина и Кубке Содружества.
И сегодня Рапопорт продолжает трудиться на благо питерского футбола, тренируя молодежные команды «Зенит». В апреле ребята 1998 года рождения выиграли первенство России среди специализированных детско-юношеских школ.
«Спорт День за Днем» присоединяется к многочисленным поздравлениям Борису Завельевичу Рапопорту!