«В 2019-м году я выступал за московский «Локомотив». Мне было 17 лет. Я был совсем один. Родители переживали за меня. Мне было тяжело из-за того, что я покинул семью в столь молодом возрасте. Я жил в тренировочном центре. Футболисты жили в другом месте. Друзей у меня не было. Я был один. Были только парни из службы безопасности центра. Это было в глухом лесу, но там нельзя было выйти погулять, потому что вокруг были собаки», — приводит слова Кварацхелии The Player’s Tribune.
В феврале 2019-го года Хвичу у грузинского «Рустави» арендовал «Локомотив». Через 5 месяцев, в июле вингера за 600 тысяч евро купил казанский «Рубин».
В завершившемся сезоне 2023/24 в Италии Кварацхелия выступил за «Наполи» в 45 матчах (во всех турнирах). Забил 11 голов и отдал 9 результативных передач. На сегодняшний день портал Transfermarkt оценивает 23-летнего футболиста в 80 миллионов евро.