Ашветия перешел в "Нижний Новгород" из барнаульского "Динамо". Ранее он играл за "Торпедо" (Кутаиси), "Рцмена", "Самгурали", "Динамо" (все — Грузия), "Аланию", "Локомотив" (Москва), "Ростов", "Рубин", "Анжи" (все — Россия), "Копенгаген" (Дания), "Карл Цейсс" (Германия). За сборную Грузии он провел 23 игры, в которых забил 5 голов.
На данный момент "Нижний Новгород" занимает 14-е место в турнирной таблице первого дивизиона, набрав 26 очков после 23 игр.