Спортивный директор «Крыльев Советов» Сергей Корниленко сообщил, что в клубе довольны выступлениями Антона Зиньковского и что клуб ведет переговоры о новом соглашении с игроком.
«Антон — один из лидеров и старожилов «Крыльев». В ближайшее время он сыграет уже 100-й матч за нашу команду. Действительно, мы очень заинтересованы в том, чтобы Зиньковский продолжил свою карьеру в Самаре. Здесь он ярко заявил о себе на уровне РПЛ и попал в расширенный список сборной России. Сейчас мы находимся в стадии переговоров о новых условиях действующего с Антоном соглашения», — цитирует Корниленко «Чемпионат».
В сезоне 2017/18 Зиньковский вместе с «Чертаново» занял первое место в группе «Запад» ПФЛ, став лучшим бомбардиром турнира с 18 мячами. В первой части следующего сезона в ФНЛ полузащитник забил 11 мячей в 22 встречах и зимой перешел в «Крылья Советов».
Дебютировал Антон в премьер-лиге в игре против «Локомотива». В этом матче вышел на замену на 87-й минуте вместо Александра Самедова. 12 апреля 2019 года забил свой первый гол в премьер-лиге в матче против казанского «Рубина».
В сезоне 2019/20 отдал 8 голевых передач и занял по этому показателю 3-е место в РПЛ, пропустив вперёд нападающего «Зенита» Артёма Дзюбу и полузащитника московского «Спартака» Зелимхана Бакаева.
Всего за «Крылья» Зиньковский провел 91 матч, отличившись 14 забитыми мячами.